如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=∠BCD．（1）求证：AB∥CD；（2）连接AC，作∠DAC的平分线交CD于点E，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F，交AD的延长线于点H．请画出完整的图形，并证明∠BAC

Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=∠BCD．
（1）求证：AB∥CD；
（2）连接AC，作∠DAC的平分线交CD于点E，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F，交AD的延长线于点H．请画出完整的图形，并证明∠BAC+∠ADC=2∠H．

Answer 1

（1）∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°．
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠B+∠BCD=180°．
∴AB∥CD；
（2）图形如下图所示：

∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD．
∴∠BAC+∠ADC=∠ACD+∠ADC=180°-∠DAC．
∵CF⊥AE，
∴∠AFC=∠AFH=90°．
∵AF平分∠DAC，
∴∠HAF=∠CAF．
在△HAF和△CAF中，

∠HAF=∠CAF

AF=AF

∠AFC=∠AFH

，
∴△HAF≌△CAF．
∴∠H=∠HCA．
∴2∠H=∠H+∠HCA=180°-∠HAC．
∴2∠H=∠BAC+∠ADC．

∠HAF=∠CAF

AF=AF

∠AFC=∠AFH

∠HAF=∠CAF

AF=AF

∠AFC=∠AFH

∠HAF=∠CAF

AF=AF

∠AFC=∠AFH

∠HAF=∠CAF

AF=AF

∠AFC=∠AFH

∠HAF=∠CAF

AF=AF

∠AFC=∠AFH

∠HAF=∠CAFAF=AF∠AFC=∠AFH∠HAF=∠CAF∠HAF=∠CAF∠HAF=∠CAFAF=AFAF=AFAF=AF∠AFC=∠AFH∠AFC=∠AFH∠AFC=∠AFH，
∴△HAF≌△CAF．
∴∠H=∠HCA．
∴2∠H=∠H+∠HCA=180°-∠HAC．
∴2∠H=∠BAC+∠ADC．