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设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-2a1,Sn,2an+1成等差数列.(1)当a1=2时,求{an}的通项公式;(2)当a1=2时,设bn=log2(an2)-1,若对于n∈N*,1b1b2+1b2b3+1b3b4+…+1bnbn+1<k恒成

题目详情
设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-2a1,Sn,2an+1成等差数列.
(1)当a1=2时,求{an}的通项公式;
(2)当a1=2时,设bn=log2 (an2)-1,若对于n∈N*,
1
b1b2
+
1
b2b3
+
1
b3b4
+…+
1
bnbn+1
<k恒成立,求实数k的取值范围;
(3)设cn=Sn+1,问:是否存在a1,使数列{cn}为等比数列?若存在,求出a1的值,若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵-2a1,Sn,2an+1成等差数列
∴2Sn=-2a1+2an+1
∴Sn=an+1-a1,…①
当n≥2时,Sn-1=an-a1,…②
两式相减得:an=an+1-an
即an+1=2an,------(2分)
当n=1时,S1=a2-a1,即a2=2a1
适合an+1=2an,-------------(3分)
所以数列{an}是以a1=2为首项,以2为公比的等比数列,
所以an=2n---------------------------------------------------(4分)
(2)由(1)得an=2n,所以bn=log2 (an2)-1=2n-1
1
b1b2
+
1
b2b3
+
1
b3b4
+…+
1
bnbn+1
=
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
(2n−1)(2n+1)
=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+(
1
5
-
1
7
)+…+(
1
2n−1
-
1
2n+1
)]=
1
2
(1-
1
2n+1

∵n∈N*,
1
2
(1-
1
2n+1
)<
1
2

若对于n∈N*,
1
b1b2
+
1
b2b3
+
1
b3b4
+…+
1
bnbn+1
<k恒成立,
∴k≥
1
2
-----------------(8分)
( 3)由(1)得数列{an}是以a1为首项,以2为公比的等比数列
所以cn=Sn+1=
a1(1−2n)
1−2
+1=a1×2n-a1+1--------------------------(10分)
要使{cn}为等比数列,当且仅当-a1+1=0
即a1=1
所以存在a1=1,使{cn}为等比数列--------------------------------(12分)