已知m，n，p为正整数，m＜n．设A（-m，0），B（n，0），C（0，p），O为坐标原点．若∠ACB=90°，且OA2+OB2+OC2=3（OA+OB+OC）．（1）证明：m+n=p+3；（2）求图象经过A，B，C三点的二次函数

Question

已知m，n，p为正整数，m＜n．设A（-m，0），B（n，0），C（0，p），O为坐标原点．若∠ACB=90°，且OA ² +OB ² +OC ² =3（OA+OB+OC）．
（1）证明：m+n=p+3；
（2）求图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，OC⊥AB，∴OA?OB=OC2，即mn=p2．∵OA2+OB2+OC2=3（OA+OB+OC），∴m2+n2+p2=3（m+n+p）．又∵m2+n2+p2=（m+n+p）2-2（mn+np+mp）=（m+n+p）2-2（p2+np+mp）=（m+n+p）2-2p（m+n+p）=（m+n+p）（m+n-p），∴m+n-p=3，即m+n=p+3．（2）∵mn=p2，m+n=p+3，∴m，n是关于x的一元二次方程x2-（p+3）x+p2=0①的两个不相等的正整数根，∴△=[-（p+3）]2-4p2＞0，解得-1＜p＜3．又∵p为正整数，故p=1或p=2．当p=1时，方程①为x2-4x+1=0，没有整数解．当p=2时，方程①为x2-5x+4=0，两根为m=1，n=4．综合知：m=1，n=4，p=2．设图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式为y=k（x+1）（x-4），将点C（0，2）的坐标代入得2=k×1×（-4），解得k=-．∴图象经过A，B，C三点的二次函数的解析式为y=-（x+1）（x-4）=-x2+x+2．
分析：
（1）先根据∠ACB=90°，OC⊥AB，由射影定理可得OA?OB=OC2，即mn=p2，再根据OA2+OB2+OC2=3（OA+OB+OC）即可得出m2+n2+p2=3（m+n+p），再由完全平方公式即可得出结论；（2）先根据mn=p2，m+n=p+3构造出以m、n为根据一元二次方程，再根据根的判别式得出p的取值范围，再根据m，n，p为正整数且m＜n即可得出m，n，p的值，进而可求出A、B、C三点的坐标，用待定系数法即可求出过此三点的抛物线解析式．
点评：
本题考查的是二次函数的综合题，其中涉及知识点有射影定理、完全平方公式、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系、待定系数法求二次函数的解析式，有一定的难度．