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如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,E为BC的中点,∠BAD=∠ADC=90°,AB=3,CD=1,PA=AD=2.(1)求证:DE⊥平面PAC;(2)求PA与平面PDE所成角的正弦值.
题目详情
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,E为BC的中点,∠BAD=∠ADC=90°,AB=3,CD=1,PA=AD=2.
(1)求证:DE⊥平面PAC;
(2)求PA与平面PDE所成角的正弦值.
(1)求证:DE⊥平面PAC;
(2)求PA与平面PDE所成角的正弦值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:因为PA⊥ABCD,DE⊂ABCD,
所以PA⊥DE…(1分),
取AD的中点F,连接EF,则EF是梯形ABCD的中位线,
所以EF∥AB且EF=
=2…(3分),
在Rt△ADC和Rt△DEF中,∠EFD=∠ADC=90°,
=
=2,
所以△EFD∽△ADC…(5分),
∠FED=∠DAC,所以AC⊥DE…(6分),
因为PA∩AC=A,所以DE⊥平面PAC…(7分).
(2)解法一:由(1)知平面PDE⊥平面PAC…(8分),
设DE∩AC=G,连接PG,在Rt△PAG中作AH⊥PG,垂足为H,则AH⊥平面PDE…(10分),
所以∠APH是PA与平面PDE所成的角…(11分),
由(1)知,在Rt△ADG中,AD=2,tan∠CAD=
=
,
所以AG=AD×cos∠CAD=
…(12分),
因为PA⊥ABCD,所以PG=
…(13分),
故PA与平面PDE所成角的正弦值sin∠APH=sin∠APG=
=
.…(14分).
解法二:依题意,以A为原点,AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系…(8分),
则直线PA的方向向量为
=(0,0,1)…(9分),
依题意,P(0,0,2)、D(2,0,0)、B(0,3,0)、C(2,1,0)、E(1,2,0)…(10分),
从而
=(−2,0,2),
=(−1,2,0)…(11分),
设平面PDE的一个法向量为
所以PA⊥DE…(1分),
取AD的中点F,连接EF,则EF是梯形ABCD的中位线,
所以EF∥AB且EF=
AB+CD |
2 |
在Rt△ADC和Rt△DEF中,∠EFD=∠ADC=90°,
EF |
DF |
AD |
DC |
所以△EFD∽△ADC…(5分),
∠FED=∠DAC,所以AC⊥DE…(6分),
因为PA∩AC=A,所以DE⊥平面PAC…(7分).
(2)解法一:由(1)知平面PDE⊥平面PAC…(8分),
设DE∩AC=G,连接PG,在Rt△PAG中作AH⊥PG,垂足为H,则AH⊥平面PDE…(10分),
所以∠APH是PA与平面PDE所成的角…(11分),
由(1)知,在Rt△ADG中,AD=2,tan∠CAD=
CD |
AD |
1 |
2 |
所以AG=AD×cos∠CAD=
4 | ||
|
因为PA⊥ABCD,所以PG=
6 | ||
|
故PA与平面PDE所成角的正弦值sin∠APH=sin∠APG=
AG |
PG |
2 |
3 |
解法二:依题意,以A为原点,AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系…(8分),
则直线PA的方向向量为
AP |
依题意,P(0,0,2)、D(2,0,0)、B(0,3,0)、C(2,1,0)、E(1,2,0)…(10分),
从而
DP |
DE |
设平面PDE的一个法向量为
作业帮用户
2017-09-19
|
看了 如图,四棱锥P-ABCD中,...的网友还看了以下:
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