已知数列{an}，{bn}中，a1=a，{bn}是公比为23的等比数列．记bn=an−2an−1（n∈N*），若不等式an＞an+1对一切n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是．

Question

已知数列{a_n}，{b_n}中，a₁=a，{b_n}是公比为(2)/(3)的等比数列．记b_n=(an−2)/(an−1)（n∈N^*），若不等式a_n＞a_n+1对一切n∈N^*恒成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

解∵bn＝(an−2)/(an−1)(n∈N*)，
∴an＝(bn−2)/(bn−1)．
∴an+1−an＝(bn+1−2)/(bn+1−1)−(bn−2)/(bn−1)
=(1)/(bn−1)−(1)/(bn+1−1)＝(bn+1−bn)/((1−bn+1)(1−bn))＝(−(1)/(3)bn)/((1−(2)/(3)bn)(1−bn))＜0，
解得bn＞(3)/(2)或0＜b_n＜1．
若bn＞(3)/(2)，则b1((2)/(3))n−1＞(3)/(2)对一切正整数n成立，显然不可能；
若0＜b_n＜1，则0＜b1((2)/(3))n−1＜1对一切正整数n成立，只要0＜b₁＜1即可，即0＜(a1−2)/(a1−1)＜1，
解得a₁=a＞2．
故答案为a＞2．