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设A与B,C均可换,证明A,B,C是同阶矩阵,且A与B+C,BC均可互换
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设A与B,C均可换,证明A,B,C是同阶矩阵,且A与B+C,BC均可互换
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答案和解析
由A,B可换知,AB与BA都是有意义的,从而A的列数等于B的行数,B的列数等于A的行数.
设A为m行n列矩阵,则B为n行m列矩阵,则AB是m阶方阵,BA为n阶方阵.根据AB=BA知m=n.从而A,B为同阶方阵.同理,A,C为同阶方阵.
A（B+C）=AB+AC=BA+CA=（B+C）A.
A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A.
设A为m行n列矩阵,则B为n行m列矩阵,则AB是m阶方阵,BA为n阶方阵.根据AB=BA知m=n.从而A,B为同阶方阵.同理,A,C为同阶方阵.
A（B+C）=AB+AC=BA+CA=（B+C）A.
A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A.
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