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求五位数中至少出现一个6,而被3整除的数的个数.
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求五位数中至少出现一个6,而被3整除的数的个数.
▼优质解答
答案和解析
∵
被3整除的前提条件为a1+a2+a3+a4+a5能被3整除,
于是分别讨论如下:
(1)从左向右计,如果最后一个6出现在第5位,即a5=6,那么a2,a3,a4可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字之一,但a1不能是任意的,它是由a2+a3+a4+a5被3除后的余数所决定.因此,为了保证a1+a2+a3+a4+a5能被3整除,a1只有3种可能,根据乘法原理,5位数中最后一位是6,而被3整除的数有3×10×10×10=3000(个).
(2)最后一个6出现在第四位,即a4=6,于是a5只有9种可能(因为a5不能等于6),a2,a3各有10种可能,为了保证a1+a2+a3+a4+a5被3整除,a1有3种可能.根据乘法原理,属于这一类的5位数有
3×10×10×9=2700(个).
(3)最后一个6出现在第3位,即a3=6,被3整除的数应有
3×10×9×9=2430(个).
(4)最后一个6出现在第2位,即a2=6,被3整除的数应有
3×9×9×9=2187(个).
(5)a1=6,被3整除的数应有
3×9×9×9=2187(个).
根据加法原理,5位数中至少出现一个6而被3整除的数应有3000+2700+2430+2187+2187=12504(个).
. |
a1a2a3a4a5 |
于是分别讨论如下:
(1)从左向右计,如果最后一个6出现在第5位,即a5=6,那么a2,a3,a4可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字之一,但a1不能是任意的,它是由a2+a3+a4+a5被3除后的余数所决定.因此,为了保证a1+a2+a3+a4+a5能被3整除,a1只有3种可能,根据乘法原理,5位数中最后一位是6,而被3整除的数有3×10×10×10=3000(个).
(2)最后一个6出现在第四位,即a4=6,于是a5只有9种可能(因为a5不能等于6),a2,a3各有10种可能,为了保证a1+a2+a3+a4+a5被3整除,a1有3种可能.根据乘法原理,属于这一类的5位数有
3×10×10×9=2700(个).
(3)最后一个6出现在第3位,即a3=6,被3整除的数应有
3×10×9×9=2430(个).
(4)最后一个6出现在第2位,即a2=6,被3整除的数应有
3×9×9×9=2187(个).
(5)a1=6,被3整除的数应有
3×9×9×9=2187(个).
根据加法原理,5位数中至少出现一个6而被3整除的数应有3000+2700+2430+2187+2187=12504(个).
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