如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Question

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=180°-∠A-∠D-∠2=90°．
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S_扇形BOC=(60π×22)/(360)＝(2π)/(3)．
在Rt△OCD中，
∵(CD)/(OC)＝tan60°，
∴CD＝2√(3)．
∴SRt△OCD＝(1)/(2)OC×CD＝(1)/(2)×2×2√(3)＝2√(3)．
∴图中阴影部分的面积为：2√(3)− (2π)/(3)．