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试证明diag(λ1,λ2…λn)与diag(λi1,λi2,…λin)合同,其中i1i2…in是一个n排列.
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试证明diag(λ1,λ2…λn)与diag(λi1,λi2,…λin)合同,其中i1i2…in是一个n排列.
▼优质解答
答案和解析
这个问题是考察这样一个命题：
若A,B是实对称矩阵,则 A相似于B 等价于 A合同于B.
令A＝diag(λ1,λ2…λn) 令Bdiag(λi1,λi2,…λin)
要证A,B合同,就是证存在可逆矩阵q,使得 A＝qTBq.
此问题中A,B均为实对称矩阵,而且A B的特征值相同,那么存在正交矩阵q,使得A＝q-1Bq.
由于q是正交矩阵,根据正交阵的性质有q-1=qT.所以A＝qTBq ,即A B合同.
若A,B是实对称矩阵,则 A相似于B 等价于 A合同于B.
令A＝diag(λ1,λ2…λn) 令Bdiag(λi1,λi2,…λin)
要证A,B合同,就是证存在可逆矩阵q,使得 A＝qTBq.
此问题中A,B均为实对称矩阵,而且A B的特征值相同,那么存在正交矩阵q,使得A＝q-1Bq.
由于q是正交矩阵,根据正交阵的性质有q-1=qT.所以A＝qTBq ,即A B合同.
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