如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），

Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．

（1）求t=15时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．

Answer 1

（1）∵EF∥OA，
∴∠BEF=∠BOA
又∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BOA，（2分）
∴(EF)/(OA)＝(BE)/(BO)（3分）
当t=15时，OE=BE=15，OA=40，OB=30，
∴EF＝(BE×OA)/(BO)＝(15×40)/(30)＝20（4分）
∴S_△PEF=(1)/(2)EF•OE=(1)/(2)×20×15＝150（平方单位）（5分）
（2）∵△BEF∽△BOA，
∴EF＝(BE×OA)/(BO)＝((30−t)×40)/(30)（6分）
∴(1)/(2)×((30−t)×40)/(30)×t＝160
整理，得t²-30t+240=0（7分）
∵△=30²-4×1×240=-60＜0，∴方程没有实数根．
∴不存在使得△PEF的面积等于160（平方单位）的t值（8分）
（3）当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA（9分）
∴(OP)/(OA)＝(OE)/(OB)，即(40−2t)/(40)＝(t)/(30)（10分）
解得，t=12（11分）
当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB（12分）
∴(OP)/(OB)＝(OE)/(OA)，即(40−2t)/(30)＝(t)/(40)（13分）
解得，t＝(160)/(11)（14分）
∴当t=12或t＝(160)/(11)时，△EOP∽△BOA（14分）