如图，△ABC中，∠BAC=60°，点D、E分别在AB、AC上，∠BCD=∠CBE=30°，BE、CD相交于点O，OG⊥BC于点G，求证：OE+OD=2OG．

Question

如图，△ABC中，∠BAC=60°，点D、E分别在AB、AC上，∠BCD=∠CBE=
30°，BE、CD相交于点O，OG⊥BC于点G，求证：OE+OD=2OG．

Answer 1

证明：延长OE至点M，使OM=OC，连接CM，
∵∠BCD=∠CBE=30°，
∴OB=OC，∠MOC=30°+30°=60°，
∵OM=OC，
∴△OMC为等边三角形，
∴CM=OC=OB，∠M=60°，
∴∠DBO=∠MCE，
在△BOD和△CME中，

∠DBO=∠MCE

BD=CM

∠DOB=∠M

，
∴△BOD≌△MCE，
∴DO=EM，
∴OE+OD=OM=OB，
在Rt△OBG中，∠OBG=30°，OG⊥BC，
∴2OG=OB，
∴OE+OD=2OG．