1的立方加3的立方加5的立方………………加到31的立方是多少加到63的立方是多少?分别求出他们的约数.

Question

1的立方加3的立方加5的立方………………加到31的立方是多少加到63的立方是多少?分别求出他们的约数.

Answer 1

首先有自然数立方和公式:
1³+2³+3³+...+n³ = n²(n+1)²/4.
乘以8得偶数立方和公式:
2³+4³+6³+...+(2n)³ = 2n²(n+1)².
于是有奇数立方和公式:
1³+3³+5³+...+(2n+1)³ = 1³+2³+3³+...+(2n+1)³-(2³+4³+6³+...+(2n)³)
= (2n+1)²(n+1)²-2n²(n+1)² = (2n²+4n+1)(n+1)².
取n = 15即得1³+3³+5³+...+31³ = 511·16² = 2^8·7·73.
取n = 31得1³+3³+5³+...+63³ = 2047·32³ = 2^15·23·89.
前者有36个约数,后者有64个...
实在不想列出来,题目不会真这么要求吧,列个质因数还差不多.