下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害．某地有一倾角为θ=37°（sin37°=35）的山坡C，上面有一质量为m的石板B，其上下表面与斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B

Question

下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害．某地有一倾角为θ=37°（sin37°=(3)/(5)）的山坡C，上面有一质量为m的石板B，其上下表面与斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B均处于静止状态，如图所示．假设某次暴雨中，A浸透雨水后总质量也为m（可视为质量不变的滑块），在极短时间内，A、B间的动摩擦因数μ₁减小为(3)/(8)，B、C间的动摩擦因数μ₂减小为0.5，A、B开始运动，此时刻为计时起点；在第3s末，C的上表面突然变为光滑，μ₁保持不变．已知A开始运动时，A离B下边缘的距离l=27m，C足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．取重力加速度大小g=10m/s²．求：
（1）在第3s末时A和B的速度大小；
（2）判断A能否滑离石板B？若能请求出A在B上运动的总时间；若不能请求出A距B上端的最大距离．

Answer 1

（1）在0～3s时间内，A和B的受力如图所示，其中f₁、N₁是A与B之间的摩擦力和正压力的大小，
f₂、N₂是B与C之间的摩擦力和正压力的大小，方向如图所示．由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得：
f₁=μ₁N₁，
N₁=mgcosθ，
f₂=μ₂N₂，
N₂=N₁+mgcosθ，
规定沿斜面向下为正．设A和B的加速度分别为a₁和a₂，
由牛顿第二定律得：mgsinθ-f₁=ma₁，
mgsinθ-f₂+f₁=ma₂，
代入数据解得：a₁=3m/s²，a₂=1m/s²，
在t₁=3s时，设A和B的速度分别为v₁和v₂，则有：
v₁=a₁t₁=3×3=9m/s，
v₂=a₂t₂=1×3=3m/s；
（2）3s后，设A和B的加速度分别为aʹ₁和aʹ₂．此时B与C之间摩擦力为零，由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得：
f₁=μ₁N₁，N₁=mgcosθ，N₂=N₁+mgcosθ，
规定沿斜面向下为正．设A和B的加速度分别为a₁和a₂，
由牛顿第二定律得：mgsinθ-f₁=ma₁′，
mgsinθ+f₁=ma₂′，
代入数据解得：a₁′=3m/s²，a₂′=9m/s²，
即A、B分别做加速运动．设经过时间t₂，A、B的共同速度为v，
则有：v₁+a₁ʹt₂=v₂+a₂ʹt₂，
代入数据解得：t₂=1s，
在t₁+t₂时间内，A相对于B运动的距离为：
s=（(1)/(2)a₁t₁²+v₁t₂+(1)/(2)a₁′t₂²）-（(1)/(2)a₂t₁²+v₂t₂+(1)/(2)a₂′t₂²），
解得：s=12m<27m，
此后A、B相对静止一起做匀加速直线运动，
A不会滑离石板B，A距石板B上端最大距离为12m．
答：（1）在第3s末时A和B的速度大小分别是9m/s、3m/s、；
（2）A不会滑离石板B，A距B上端的最大距离为12m．