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已知△ABC中,∠ABC=40°,∠ACB=80°,O、I、H分别是△ABC的外心、内心和垂心,求证:(1)OI=IH=HC;(2)AO=AH.
题目详情
已知△ABC中,∠ABC=40°,∠ACB=80°,O、I、H分别是△ABC的外心、内心和垂心,求证:
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(1)OI=IH=HC;(2)AO=AH.
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(1)OI=IH=HC;(2)AO=AH.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)延长BO交外接圆于E,连接BI、BH、CI、OC、EC,![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_425060d8f32572011371ffc5e68cb125.jpg)
∵∠ABC=40°,∠ACB=80°,
∴∠BAC=60°,
∵O是三角形的外心,
∴∠BOC=2∠BAC=120°(同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍),
∵I是△ABC的内心,
∴∠IBC=
∠ABC=20°,∠ICB=
∠ACB=40°,
∴∠BIC=120°.
又∵垂心为点H,
∴∠BCH=50°,∠HBC=10°,
∴∠BHC=120°,
∴BE⊥AC,
∴∠ABE=90°,
∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-60°=30°,
∴∠BOC=∠BIC=∠BHC,
又∵O,I,H在BC边同侧,
∴B,C,O,H、I五点共圆.
∵O是外心,
∴BE是直径,
∴∠BCE=90°,
∵∠BEC=∠BAC=60°,
∴∠EBC=∠30°,
∵∠IBC=20°,∠HBC=10°,
∴∠IBC=∠HBC=∠OBI=10°,
∴OI=IH=HC;
(2)连接AE,
∵H是垂心.
∴AH⊥BC,
∵CE⊥BC,
∴AH∥CE.
同理CH∥AE.
∴四边形AHCE为平行四边形,
∴AH=CE.
又∠BEC=∠A=60°,从而∠EBC=∠30°.
所以EC=
BE=OA,
故AH=OA.
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∵∠ABC=40°,∠ACB=80°,
∴∠BAC=60°,
∵O是三角形的外心,
∴∠BOC=2∠BAC=120°(同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍),
∵I是△ABC的内心,
∴∠IBC=
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∴∠BIC=120°.
又∵垂心为点H,
∴∠BCH=50°,∠HBC=10°,
∴∠BHC=120°,
∴BE⊥AC,
∴∠ABE=90°,
∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-60°=30°,
∴∠BOC=∠BIC=∠BHC,
又∵O,I,H在BC边同侧,
∴B,C,O,H、I五点共圆.
∵O是外心,
∴BE是直径,
∴∠BCE=90°,
∵∠BEC=∠BAC=60°,
∴∠EBC=∠30°,
∵∠IBC=20°,∠HBC=10°,
∴∠IBC=∠HBC=∠OBI=10°,
∴OI=IH=HC;
(2)连接AE,
∵H是垂心.
∴AH⊥BC,
∵CE⊥BC,
∴AH∥CE.
同理CH∥AE.
∴四边形AHCE为平行四边形,
∴AH=CE.
又∠BEC=∠A=60°,从而∠EBC=∠30°.
所以EC=
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故AH=OA.
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