如图（1），四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD，如图（2）．（I）求证：平面PBC⊥平面PDC；（II）在折叠

Question

如图（1），四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD，如图（2）．
（I）求证：平面PBC⊥平面PDC；
（II）在折叠前的四边形ABCD中，作AE⊥BD于E，过E作EF⊥BC于F，求折起后的图形中∠PFE的正切值．

Answer 1

（I）证明：折叠前，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BAD=90°，∴△ABD为等腰直角三角形．
又∵∠BCD=45°，∠DBC=45°，∴∠BDC=90°．
  折叠后，∵平面BCD⊥平面PBD，CD⊥BD，
∴CD⊥平面PBD．
又∵PB⊂平面PBD，∴CD⊥PB．
又PB⊥PD，PD∩CD=D，
∴PB⊥平面PDC．又PB⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PDC．
（II）∵AE⊥BD，EF⊥BC，折叠后的位置关系不变，∴PE⊥BD．
又平面PBD⊥平面BCD，∴PE⊥平面BCD，∴PE⊥EF．
设AB=AD=a，则BD=√(2)a，∴PE=(√(2))/(2)a=BE．
在Rt△BEF中，EF=BE•sin45°=(√(2))/(2)a×(√(2))/(2)＝(1)/(2)a．
在Rt△PEF中，tan∠PFE=(PE)/(EF)＝((√(2))/(2)a)/((1)/(2)a)＝√(2)．