已知直线l：3x-y+3=0，求：（1）点P（4，5）关于l的对称点；（2）直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程．

Question

已知直线l：3x-y+3=0，求：
（1）点P（4，5）关于l的对称点；
（2）直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程．

Answer 1

（1）设P（x，y）关于直线l：3x-y+3=0的对称点为P′（x′，y′）．
∵k_PP′PP′•k₁1=-1，即(y′−y)/(x′−x)×3=-1．①
又PP′的中点在直线3x-y+3=0上，
∴3×-+3=0．②
由①②得

x′＝(−4x+3y−9)/(5)③

y′＝(3x+4y+3)/(5)④

把x=4，y=5代入③及④得x′=-2，y′=7，
∴P（4，5）关于直线l的对称点P′的坐标为（-2，7）．
（2）用③④分别代换x-y-2=0中的x，y，得关于l的对称直线方程为(−4x+3y−9)/(5)-(3x+4y+3)/(5)-2=0，化简得7x+y+22=0． (y′−y)/(x′−x)y′−yy′−yy′−yx′−xx′−xx′−x×3=-1．①
又PP′的中点在直线3x-y+3=0上，
∴3×-+3=0．②
由①②得

x′＝(−4x+3y−9)/(5)③

y′＝(3x+4y+3)/(5)④

把x=4，y=5代入③及④得x′=-2，y′=7，
∴P（4，5）关于直线l的对称点P′的坐标为（-2，7）．
（2）用③④分别代换x-y-2=0中的x，y，得关于l的对称直线方程为(−4x+3y−9)/(5)-(3x+4y+3)/(5)-2=0，化简得7x+y+22=0．

x′＝(−4x+3y−9)/(5)③

y′＝(3x+4y+3)/(5)④

x′＝(−4x+3y−9)/(5)③

y′＝(3x+4y+3)/(5)④

x′＝(−4x+3y−9)/(5)③

y′＝(3x+4y+3)/(5)④

x′＝(−4x+3y−9)/(5)③

y′＝(3x+4y+3)/(5)④

x′＝(−4x+3y−9)/(5)③x′＝(−4x+3y−9)/(5)③x′＝(−4x+3y−9)/(5)−4x+3y−9−4x+3y−9−4x+3y−9555③y′＝(3x+4y+3)/(5)④y′＝(3x+4y+3)/(5)④y′＝(3x+4y+3)/(5)3x+4y+33x+4y+33x+4y+3555④
把x=4，y=5代入③及④得x′=-2，y′=7，
∴P（4，5）关于直线l的对称点P′的坐标为（-2，7）．
（2）用③④分别代换x-y-2=0中的x，y，得关于l的对称直线方程为(−4x+3y−9)/(5)-(3x+4y+3)/(5)-2=0，化简得7x+y+22=0． (−4x+3y−9)/(5)−4x+3y−9−4x+3y−9−4x+3y−9555-(3x+4y+3)/(5)-2=0，化简得7x+y+22=0． (3x+4y+3)/(5)3x+4y+33x+4y+33x+4y+3555-2=0，化简得7x+y+22=0．