已知k是满足1910＜k＜2010的整数，并且使二元一次方程组5x−4y＝74x+5y＝k有整数解．问：这样的整数k有多少个？

Question

已知k是满足1910＜k＜2010的整数，并且使二元一次方程组

5x−4y＝7

4x+5y＝k

有整数解．问：这样的整数k有多少个？

Answer 1

解方程组可得

x＝(35+4k)/(41)

y＝(5k−28)/(41)

．
设当

35+4k＝41m

28−5k＝41n

（其中m和n是整数）（1）时方程组有整数解．
消去上面方程中的k，得到5m-4n=7．（2）
∵m=(7−4n)/(5)=1+n-(2+n)/(5)且m和n是整数，
∴只要满足-(2+n)/(5)=l（l是整数）即可，即n=-5l-2，代入（2）式得m=3+4l，
∴从（2）解得

m＝3+4l

n＝−2−5l

（其中l是整数）．（3）
将（3）代入（1）中一个方程得：35+4k=123-164l，解得k=22+41l．
∵k是满足1910＜k＜2010的整数，
∴1910＜22+41l＜2010，
解不等式得(1888)/(41)＜l＜(1988)/(41)，46(2)/(41)＜l＜48(20)/(41)．
因此共有2个k值使原方程有整数解．
答：这样的整数