一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的78，问雪堆

Question

一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为r₀的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的(7)/(8)，问雪堆全部融化需要多少时间？

Answer 1

雪堆体积的融化速率v=-(dV)/(dt)=-(d((1)/(2)×(4)/(3)πr3))/(dt)=-2πr2(dr)/(dt)
由雪堆体积的融化的速率与半球面积S成正比比例系数K，可得：
v=-2πr2(dr)/(dt)=KS=K(1)/(2)×4πr2=2πKr2
-(dr)/(dt)=K
r=-Kt+c，c为任意常数
根据半径为r₀的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的(7)/(8)，
可知

r=r0，t=0

r=

3

1-(7)/(8)

r0=

3

(1)/(8)

r0=(1)/(2)r0，t=3

所以，c=r0，K=(r0)/(6)
所以，r=-(1)/(6)r0t+r0=(1-(1)/(6)t)r0
雪堆全部融化即r=0，则
(1-(1)/(6)t)r0=0
1-(1)/(6)t=0
t=6
即雪堆全部融化需要6小时．