一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S成正比比例系数K＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的78，问雪堆

Question

一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S成正比比例系数K＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为r₀的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的(7)/(8)，问雪堆全部融化需要多少时间？

Answer 1

雪堆体积的融化速率v＝−(dV)/(dt)＝−(d((1)/(2)×(4)/(3)πr3))/(dt)＝−2πr2(dr)/(dt)
由雪堆体积的融化的速率与半球面积S成正比比例系数K，可得：
v＝−2πr2(dr)/(dt)＝KS＝K(1)/(2)×4πr2＝2πKr2
−(dr)/(dt)＝K
r=-Kt+c，c为任意常数
根据半径为r₀的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的(7)/(8)，
可知

r＝r0，t＝0

r＝

3

1−(7)/(8)

r0＝

3

(1)/(8)

r0＝(1)/(2)r0，t＝3

所以，c＝r0，K＝(r0)/(6)
所以，r＝−(1)/(6)r0t+r0＝(1−(1)/(6)t)r0
雪堆全部融化即r=0，则
(1−(1)/(6)t)r0＝0
1−(1)/(6)t＝0
t=6
即雪堆全部融化需要6小时．