如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形ABCD面积为（）A.163B.8C.323D.83

Question

如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形ABCD面积为（　　）
A. (16)/(3)
B. 8
C. (32)/(3)
D. 8√(3)

Answer 1

连结BD，可得四边形ABCD的面积为
S=S_△ABD+S_△CBD=(1)/(2)AB•ADsinA+(1)/(2)BC•CDsinC
∵四边形ABCD内接于圆，∴A+C=180°，可得sinA=sinC．
S=(1)/(2)AB•ADsinA+(1)/(2)BC•CDsinC
=(1)/(2)（AB•AD+BC•CD）sinA=(1)/(2)（2×4+6×4）sinA=16sinA．…（*）
在△ABD中，由余弦定理可得
BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=2²+4²-2×2×4cosA=20-16cosA，
同理可得：在△CDB中，BD²=CB²+CD²-2CB•CDcosC=6²+4²-2×6×4cosC=52-48cosC，
∴20-16cosA=52-48cosC
结合cosC=cos（180°-A）=-cosA，得64cosA=-32，解得cosA=-(1)/(2)，
∵A∈（0°，180°），∴A=120°，
代入（*）式，可得四边形ABCD面积S=16sin120°=8√(3)
故选：D