如图，△ACB与△ADE都是等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90°，∠CDF=45°，DF交BE于F，求证：∠CFD=90°．

Question

如图，△ACB与△ADE都是等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90°，∠CDF=45°，DF交BE于F，求证：∠CFD=90°．

Answer 1

证明：如图作CM⊥CD交DF的延长线于M，连接BM．
∵∠DCM=90°，∠CDM=45°，
∴∠CMD=90°-∠CDM=45°，
∴∠CDM=∠CMD=45°，
∴CD=CM，
∵∠ACB=∠DCM=90°，
∴∠ACD=∠MCB，
在△ACD和△BCM中，

AC=CB

∠ACD=∠BCM

CD=CM

，
∴△ACD≌△BCM，
∴AD=BM=ED，∠ADC=∠CMB，
∵∠BMF=∠CMB-∠CMD=∠CMB-45°，∠EDF=∠ADF-∠ADE=∠ADC+∠CDF-∠ADE=∠ADC-45°，
∴∠EDF=∠BMF，
在△EDF和△BMF中，

∠EDF=∠BMF

∠EFD=∠MFB

ED=BM

，
∴△EDF≌△BMF，
∴DF=FM，
∵CD=CM，
∴CF⊥DM，
∴∠CFD=90°．