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如图,将两块腰长相等的三角尺(△ABC和△DEF,其中∠ACB=∠DFE=90°)置于水平面上,直角边BC=EF=1cm,且始终紧贴在水平直线l上.(1)在图①中,当边DF与边AC重合时,AB与AE的大小关系是
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如图,将两块腰长相等的三角尺(△ABC和△DEF,其中∠ACB=∠DFE=90°)置于水平面上,直角边BC=EF=1cm,且始终紧贴在水平直线l上.
(1)在图①中,当边DF与边AC重合时,AB与AE的大小关系是___;
(2)将三角板ABC以1cm/s的速度从图①的位置沿直线l向右平移,设平移的时间为t(s),如图②所示,当0<t<1时,DE分别交AC、AB于点G、H,DF分别交AB、BG于点P、Q.连接BG、AE.
①求证:BG=AE;
②在平移过程中,是否存在某时刻t,使得以点D、G、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出t的值,若不存在,请说明理由.
(1)在图①中,当边DF与边AC重合时,AB与AE的大小关系是___;
(2)将三角板ABC以1cm/s的速度从图①的位置沿直线l向右平移,设平移的时间为t(s),如图②所示,当0<t<1时,DE分别交AC、AB于点G、H,DF分别交AB、BG于点P、Q.连接BG、AE.
①求证:BG=AE;
②在平移过程中,是否存在某时刻t,使得以点D、G、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出t的值,若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)在△ACB与△DFE中,
,
∴△ACB≌△DFE(SAS),
∴AB=DE,
∴AB=AE;
故答案为:相等;
(2)①证明:
∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,DF=EF,∠ACB=∠DFE=90°,
∴∠DEF=∠D=45°,
∴△GCE是等腰直角三角形,
同理可证△BEP是等腰直角三角形,
∴CG=CE,
∵∠ACB=∠ACE=90°,
在△BCG与△ACE中,
,
∴△BCG≌△ACE(SAS).
∴BG=AE,
②存在.
∵∠D=45°,可分三种情况讨论:
(i)当∠DGB=∠D=45°时,
∵∠DGB=∠DEB+∠GBE=45°+∠GBE,
∴∠GBE=0°,即t=1,
∵平移时间0<tt<1,
∴当∠DGB=∠D=45°时,不符合题意,
(ii)同理可证,当∠DQG=∠D=45°时,不符合题意,
(iii)当∠DGB=∠DQG时,
∵∠DGB=∠DEB+∠GBE=45°+∠GBE,
∠DQG=∠BPQ+∠PBQ=45°+∠PBQ,
∴∠GBE=∠PBQ,
由已知易得∠BHE=∠ACB=90°,
∴GH=GC,
当平移时间为ts时,CF=tcm,
∴CE=CG=GH=(1-t)cm,AG=1-(1-t)=tcm,
∵BC=AC=1cm,
∴AB=
=
,
∵S△ABG=
AB•GH=
AG•BC,
∴
(1-t)=t,解得 t=2-
(s).
|
∴△ACB≌△DFE(SAS),
∴AB=DE,
∴AB=AE;
故答案为:相等;
(2)①证明:
∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,DF=EF,∠ACB=∠DFE=90°,
∴∠DEF=∠D=45°,
∴△GCE是等腰直角三角形,
同理可证△BEP是等腰直角三角形,
∴CG=CE,
∵∠ACB=∠ACE=90°,
在△BCG与△ACE中,
|
∴△BCG≌△ACE(SAS).
∴BG=AE,
②存在.
∵∠D=45°,可分三种情况讨论:
(i)当∠DGB=∠D=45°时,
∵∠DGB=∠DEB+∠GBE=45°+∠GBE,
∴∠GBE=0°,即t=1,
∵平移时间0<tt<1,
∴当∠DGB=∠D=45°时,不符合题意,
(ii)同理可证,当∠DQG=∠D=45°时,不符合题意,
(iii)当∠DGB=∠DQG时,
∵∠DGB=∠DEB+∠GBE=45°+∠GBE,
∠DQG=∠BPQ+∠PBQ=45°+∠PBQ,
∴∠GBE=∠PBQ,
由已知易得∠BHE=∠ACB=90°,
∴GH=GC,
当平移时间为ts时,CF=tcm,
∴CE=CG=GH=(1-t)cm,AG=1-(1-t)=tcm,
∵BC=AC=1cm,
∴AB=
12+12 |
2 |
∵S△ABG=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴
2 |
2 |
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