三角形的内角ABC的对边分别为abc,已知,A-C=90度,a+c=根号2乘b,求角C

Question

三角形的内角ABC的对边分别为abc,已知,A-C=90度,a+c=根号2乘b,求角C

Answer 1

由 a+c=√2*b 及正弦定理得 sinA+sinC=√2sinB,
把已知代入得 sin(C+90°)+sinC=√2*sin[180°-(C+90°)-C] ,
即 cosC+sinC=√2cos(2C),
平方得 1+sin(2C)=2(cos2C)^2=2[1-(sin2C)^2] ,
解得 sin(2C)=1/2 或 -1 ,
当 sin(2C)=1/2 时,2C=30° 或 150° ,因此 C=15° 或 75°（舍去,因为 A=C+90°=165°,此时 A+C 已超过 180°） ；
当 sin(2C)= -1 时,2C=270°,C=135° （舍去,因为 A=C+90°,有两个钝角）；
综上,C=15° .