如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，点P是边AB上的一个动点，以点P为圆心，PB的长为半径画弧，交射线BC于点D，射线PD交射线AC于点E．（1）当点D与点C重合时，求PB的长；（2）当点

Question

如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，点P是边AB上的一个动点，以点P为圆心，PB的长为半径画弧，交射线BC于点D，射线PD交射线AC于点E．
（1）当点D与点C重合时，求PB的长；
（2）当点E在AC的延长线上时，设PB=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△PAD是直角三角形时，求PB的长．

Answer 1

（1）如图1，∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=(1)/(2)AB，
∵AC=2，
∴AB=4，
∵以点P为圆心，PB的长为半径画弧，交射线BC于点D，点D与点C重合，
∴PD=PB，
∴∠PCB=∠B=30°，
∴∠APC=∠ACD=60°，
∴AP=AC=2，
∴BP=2；

（2）∵PD=PB，∠ABC=30°，
∴∠PDB=∠B=30°，
∴∠APE=60°，∠CDE=30°，
∵∠ACD=90°，
∴∠AEP=60°，
∴AE=AP，
∵PB=x，CE=y，
∴2+y=4-x，y=2-x．（0<x<2）；

（3）①如图2，当点E在AC的延长线上时，连接AD，
∵△PAD是直角三角形，∠APD=60°，∠PAD<60°，
∴∠PDA=90°，
∴∠PAD=30°．
∴PD=(1)/(2)AP，
即x=(1)/(2)（4-x），
∴x=(4)/(3)；
②如图3，当点E在AC边上时，连接AD
∵△PAD是直角三角形，∠APD=60°，∠ADP<60°，
∴∠PAD=90°，
∴∠PDA=30°．
∴AP=(1)/(2)PD．即4-x=(1)/(2)x，
∴x=(8)/(3)．
综上所述：当PB的长是(4)/(3)或(8)/(3)时，△PAD是直角三角形．