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已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,将∠MBN绕点B旋转.(1)当∠MBN旋转到(如图1)的位置,此时∠MBN的两边分别交AD,DC于E,F,且AE=CF,求证:①BE=BF②AE+CF=EF;(
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已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,将∠MBN绕点B旋转.
(1)当∠MBN旋转到(如图1)的位置,此时∠MBN的两边分别交AD,DC于E,F,且AE=CF,求证:①BE=BF②AE+CF=EF;
(2)当∠MBN旋转到(如图1)的位置,此时∠MBN的两边分别交AD,DC于E,F,且AE≠CF时,小颖猜想(1)中的AE+CF=EF仍然成立,并尝试作出了延长DC至点K,使CK=AE,连接BK,请你证明小颖的猜想;
(3)当∠MBN旋转到(如图1)的位置,此时∠MBN的两边分别交AD,DC于E,F,请你猜想线段AE、CF、EF之间的数量关系,并证明你的猜想.
(1)当∠MBN旋转到(如图1)的位置,此时∠MBN的两边分别交AD,DC于E,F,且AE=CF,求证:①BE=BF②AE+CF=EF;
(2)当∠MBN旋转到(如图1)的位置,此时∠MBN的两边分别交AD,DC于E,F,且AE≠CF时,小颖猜想(1)中的AE+CF=EF仍然成立,并尝试作出了延长DC至点K,使CK=AE,连接BK,请你证明小颖的猜想;
(3)当∠MBN旋转到(如图1)的位置,此时∠MBN的两边分别交AD,DC于E,F,请你猜想线段AE、CF、EF之间的数量关系,并证明你的猜想.
▼优质解答
答案和解析
(1)①在△ABE和△CBF中,
,
∴△ABE≌△CBF(SAS).
∴BE=BF;
②由①知△ABE≌△CBF,
∴∠ABE=∠CBF=
(∠ABC-∠MBN)=
(120°-60°)=30°.
∴AE=
BE,CF=
BF,
△BEF是等边三角形.
∴BE=BF=EF.
∴AE+CF=
BE+
BF=EF;
(2)延长DC至K点使得CK=AE,如图.
在△ABE和△CBK中,
,
∴△ABE≌△CBK(SAS).
∴BE=BK,∠ABE=∠KBC,
∵∠ABE+∠CBE=120°,
∴∠KBC+∠CBE=120°,
即∠KBE=120°,
∵∠EBF=60°,
∴∠KBF=∠EBF=60°.
在△EBF和△KBF中,
,
∴△EBF≌△KBF(SAS).
∴EF=KF.
∴EF=CK+CF.
∴AE+CF=EF;
(3)如图3,猜想AE-CF=EF.
证明如下:
在DC的延长线上取点K,
使CK=AE,连接BK.
在△ABE和△CBK中,
,
∴△ABE≌△CBK(SAS).
∴BE=BK,∠ABE=∠KBC,
∵∠ABE+∠CBE=120°,
∴∠KBC+∠CBE=120°,
即∠KBE=120°.
∵∠EBF=60°,
∴∠KBF=∠EBF=60°.
在△EBF和△KBF中,
,
∴△EBF≌△KBF(SAS),
∴EF=KF,
∴EF=CK-CF.
∴AE-CF=EF.
|
∴△ABE≌△CBF(SAS).
∴BE=BF;
②由①知△ABE≌△CBF,
∴∠ABE=∠CBF=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴AE=
1 |
2 |
1 |
2 |
△BEF是等边三角形.
∴BE=BF=EF.
∴AE+CF=
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)延长DC至K点使得CK=AE,如图.
在△ABE和△CBK中,
|
∴△ABE≌△CBK(SAS).
∴BE=BK,∠ABE=∠KBC,
∵∠ABE+∠CBE=120°,
∴∠KBC+∠CBE=120°,
即∠KBE=120°,
∵∠EBF=60°,
∴∠KBF=∠EBF=60°.
在△EBF和△KBF中,
|
∴△EBF≌△KBF(SAS).
∴EF=KF.
∴EF=CK+CF.
∴AE+CF=EF;
(3)如图3,猜想AE-CF=EF.
证明如下:
在DC的延长线上取点K,
使CK=AE,连接BK.
在△ABE和△CBK中,
|
∴△ABE≌△CBK(SAS).
∴BE=BK,∠ABE=∠KBC,
∵∠ABE+∠CBE=120°,
∴∠KBC+∠CBE=120°,
即∠KBE=120°.
∵∠EBF=60°,
∴∠KBF=∠EBF=60°.
在△EBF和△KBF中,
|
∴△EBF≌△KBF(SAS),
∴EF=KF,
∴EF=CK-CF.
∴AE-CF=EF.
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