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已知Sn为数列{an}的前n项和,Sn=;数列满足:b3=11,bn+2=2bn+1-bn,其前9项和为153(1){bn}的通项公式;(2)设Tn为数列{cn}的前n项和,cn=,求使不等式T对?n∈N+都成立
题目详情
已知S n 为数列{a n }的前n项和,S n = ;数列满足:b 3 =11,b n+2 =2b n+1 -b n ,其前9项和为153
(1){b n }的通项公式;
(2)设T n 为数列{c n }的前n项和,c n = ,求使不等式T 对?n∈N + 都成立的最大正整数k的值.
(1){b n }的通项公式;
(2)设T n 为数列{c n }的前n项和,c n = ,求使不等式T 对?n∈N + 都成立的最大正整数k的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵,∴当n=1时,a1=S1=6;当n≥2时,an=Sn-Sn-1==n+5经验证,当n=1时,上式也适合,∴an=n+5;∵bn+2=2bn+1-bn,∴,∴{bn}是等差数列,设其公差为d.则解得,∴bn=5+3(n-1)=3n+2.(2)∵cn===∴Tn=(1)+()+()+…+()=1∵n∈N+,∴Tn是单调递增数列,∴当n=1时,(Tn)min=T1=1-=∴对?n∈N+都成立,等价于(Tn)min成立,即,解得k<38∴所求最大正整数k的值为37.
分析:
(1)由可知,当n=1时,a1=S1=6;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n+5,可得{an}的通项,又由已知可得,即{bn}是等差数列,设其公差为d.有可解得,可得通项;(2)把(1)的结果代入可得,由列项相消法可得Tn,进而可求得Tn的最小值,只需其最小值(Tn)min成立即可,解之可得.
点评:
本题为数列和不等式的综合应用,涉及求数列的通项,数列的求和以及恒成立问题,属中档题.
分析:
(1)由可知,当n=1时,a1=S1=6;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n+5,可得{an}的通项,又由已知可得,即{bn}是等差数列,设其公差为d.有可解得,可得通项;(2)把(1)的结果代入可得,由列项相消法可得Tn,进而可求得Tn的最小值,只需其最小值(Tn)min成立即可,解之可得.
点评:
本题为数列和不等式的综合应用,涉及求数列的通项,数列的求和以及恒成立问题,属中档题.
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