已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=；数列满足：b3=11，bn+2=2bn+1-bn，其前9项和为153（1）{bn}的通项公式；（2）设Tn为数列{cn}的前n项和，cn=，求使不等式T对?n∈N+都成立

Question

已知S _n 为数列{a _n }的前n项和，S _n = ；数列满足：b ₃ =11，b _n+2 =2b _n+1 -b _n ，其前9项和为153
（1）{b _n }的通项公式；
（2）设T _n 为数列{c _n }的前n项和，c _n = ，求使不等式T 对?n∈N ₊ 都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

（1）∵，∴当n=1时，a1=S1=6；当n≥2时，an=Sn-Sn-1==n+5经验证，当n=1时，上式也适合，∴an=n+5；∵bn+2=2bn+1-bn，∴，∴{bn}是等差数列，设其公差为d．则解得，∴bn=5+3（n-1）=3n+2．（2）∵cn===∴Tn=（1）+（）+（）+…+（）=1∵n∈N+，∴Tn是单调递增数列，∴当n=1时，（Tn）min=T1=1-=∴对?n∈N+都成立，等价于（Tn）min成立，即，解得k＜38∴所求最大正整数k的值为37．
分析：
（1）由可知，当n=1时，a1=S1=6；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n+5，可得{an}的通项，又由已知可得，即{bn}是等差数列，设其公差为d．有可解得，可得通项；（2）把（1）的结果代入可得，由列项相消法可得Tn，进而可求得Tn的最小值，只需其最小值（Tn）min成立即可，解之可得．
点评：
本题为数列和不等式的综合应用，涉及求数列的通项，数列的求和以及恒成立问题，属中档题．