设函数f(x)=x4+bx2+cx+d，当x=t1时，f(x)有极小值，(Ⅰ)若b=-6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在c，使函数f(x)在区间[m-2，m+2]上单调递增，求实数m

Question

设函数f(x)= x ⁴ +bx ² +cx+d，当x=t ₁ 时，f(x)有极小值，
(Ⅰ)若b=-6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在c，使函数f(x)在区间[m-2，m+2]上单调递增，求实数m的取值范围；
(Ⅲ)若函数f(x)只有一个极值点，且存在t ₂ ∈(t ₁ ，t ₁ +1)，使f′(t ₂ )=0，证明：函数g(x)=f(x)- x ² +t ₁ x在区间(t ₁ ，t ₂ )内最多有一个零点。

Answer 1

设函数f(x)= x ⁴ +bx ² +cx+d，当x=t ₁ 时，f(x)有极小值，
(Ⅰ)若b=-6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在c，使函数f(x)在区间[m-2，m+2]上单调递增，求实数m的取值范围；
(Ⅲ)若函数f(x)只有一个极值点，且存在t ₂ ∈(t ₁ ，t ₁ +1)，使f′(t ₂ )=0，证明：函数g(x)=f(x)- x ² +t ₁ x在区间(t ₁ ，t ₂ )内最多有一个零点。

(Ⅰ)因为f(x)= x ⁴ +bx ² +cx+d，
所以h(x)=f′(x)=x ³ -12x+c， 
由题设，方程h(x)=0有三个互异的实根，
考察函数h(x)=x ³ -12x+c，则h′(x)=0，得x=±2，

所以 ，故-16＜c＜16。
(Ⅱ)存在c∈（- 16，16），使f′(x)≥0，即x ³ -12x≥-c，(*)
所以x ³ -12x＞-16，
即(x-2） ² (x+4)＞0(*)在区间[m-2，m+2]上恒成立，
所以[m-2，m+2]是不等式(*)解集的子集，
所以， 或m-2＞2，即-2＜m＜0或m＞4。
(Ⅲ)由题设，可得存在α，β∈R，
使f′(x)=x ³ +2bx+c=(x-t ₁ )(x ² +αx+β)，且x ² +αx+β≥0恒成立，
又f′(t ₂ )=0，且在x=t ₂ 两侧同号，
所以f′(x)=(x-t ₁ )(x-t ₂ ) ² ，
另一方面，g′(x)=x ³ +(2b-1)x+t ₁ +c=x ³ +2bx+c-(x-t ₁ )=(x-t ₁ )[(x-t ₂ ) ² -1]，
因为t ₁ ＜x＜t ₂ ，且t ₂ -t ₁ ＜1，
所以-1＜t ₁ -t ₂ ＜x-t ₂ ＜0，
所以0＜(x-t ₂ ) ² ＜1，
所以(x-t ₂ ) ² - l＜0，而x-t ₁ ＞0，
所以g′(x)＜0，所以g(x)在(t ₁ ，t ₂ )内单调递减，
从而g(x)在(t ₁ ，t ₂ )内最多有一个零点。