如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1=∠F．（2）若sinB=55，EF=25，求CD的长．

Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的 O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．

（1）求证：∠1=∠F．
（2）若sinB=(√(5))/(5)，EF=2√(5)，求CD的长．

Answer 1

（1）证明：连接DE，
∵BD是 O的直径，
∴∠DEB=90°，
∵E是AB的中点，
∴DA=DB，
∴∠1=∠B，
∵∠B=∠F，
∴∠1=∠F；

（2）∵∠1=∠F，
∴AE=EF=2√(5)，
∴AB=2AE=4√(5)，
在Rt△ABC中，AC=AB•sinB=4，
∴BC=√(AB2-AC2)=8，
设CD=x，则AD=BD=8-x，
∵AC²+CD²=AD²，
即4²+x²=（8-x）²，
∴x=3，即CD=3．