如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作圆O,交AB边于点D,过点O作OE∥AB,交BC边于点E．（1）试判断ED与圆O位置关系,并给出证明；（2）如果圆O的半径为1.5,ED=2,求AB的长．,（3）在（2）的条件下,延

Question

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作圆O,交AB边于点D,过点O作OE∥AB,交BC边于点E．
（1）试判断ED与圆O位置关系,并给出证明；
（2）如果圆O的半径为 1.5,ED=2,求AB的长．,
（3）在（2）的条件下,延长EO交圆O于F,连接DF、AF,求△ADF的面积.

Answer 1

1、连接OD
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
∵OE∥AB
∴∠COE=∠OAD,∠ODA=∠DOE
∴∠COE=∠DOE
∵OC=OD,OE=OE
∴△COE≌△DOE(SAS)
∴∠ODE=∠C=90°
∴ED的圆O的切线
2、∵△COE≌△DOE
∴CE=ED=2
∵OC=OA=1.5
∴OE=√(OC²+CE²)=√(1.5²+2²)=2.5
∵O是AC的中点,OE∥AB
∴OE是△ABC的中位线
∴AB=2OE=5
3、连接CD交OE于G
∵AC是直径
∴∠ADC=∠BDC=90°
∵∠CAB=∠CAD
∠ACB=∠ADC
∴△ABC∽△ADC
∴AC/AB=AD/AC
AC²=AD×AB(射影定理）
∴AD=AC²/AB=(1.5+1.5)²/5=9/5
∴CD²=AC²-AD²=3²-(9/5)²=12²/5²
CD=12/5
∵OC=OD,OG=OG
∠COG=∠DOG(∠COE=∠DOG)
∴△COG≌△DOG(SAS)
∴DG=CG=1/2CD=1/2×12/5=6/5
∴S△ADF=1/2AD×DG=1/2×9/5×6/5=27/25(CD⊥AB,EF∥AB,DG是△ADF的高）