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已知AD与BC是四面体ABCD中相互垂直的棱,若AD=BC=6,且∠ABD=∠ACD=60°,则四面体ABCD的体积的最大值是()A.182B.362C.18D.36
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已知AD与BC是四面体ABCD中相互垂直的棱,若AD=BC=6,且∠ABD=∠ACD=60°,则四面体ABCD的体积的最大值是( )
A. 182
B. 362
C. 18
D. 36
▼优质解答
答案和解析
过C作CF⊥AD,垂足为F,连接BF,
∵BC⊥AD,CF⊥AD,BC∩CF=C,
∴AD⊥平面BCF,
∴VA-BCD=
S△BCF•AD=2S△BCF.
又∠ACD=∠ABD,AD⊥平面BCF,
∴△ACD≌△ABD,∴CF=BF,
取BC的中点E,则EF⊥BC,
∴2S△ADE=2×
×BC×EF=6EF,
∴当EF最大时,棱锥的体积取得最大值.
又EF=
=
,故当CF最大时,棱锥体积最大,
∵∠ACD=60°,AD=6,∴当AC=CD时,CF取得最大值,
此时CF=
=3
,∴EF=3
∴棱锥的体积最大值为6EF=18
.
故选A.
∵BC⊥AD,CF⊥AD,BC∩CF=C,
∴AD⊥平面BCF,
∴VA-BCD=
1 |
3 |
又∠ACD=∠ABD,AD⊥平面BCF,
∴△ACD≌△ABD,∴CF=BF,
取BC的中点E,则EF⊥BC,
∴2S△ADE=2×
1 |
2 |
∴当EF最大时,棱锥的体积取得最大值.
又EF=
CF2-CE2 |
CF2-9 |
∵∠ACD=60°,AD=6,∴当AC=CD时,CF取得最大值,
此时CF=
27 |
3 |
2 |
∴棱锥的体积最大值为6EF=18
2 |
故选A.
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