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已知AD与BC是四面体ABCD中相互垂直的棱,若AD=BC=6,且∠ABD=∠ACD=60°,则四面体ABCD的体积的最大值是()A.182B.362C.18D.36

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已知AD与BC是四面体ABCD中相互垂直的棱,若AD=BC=6,且∠ABD=∠ACD=60°,则四面体ABCD的体积的最大值是(  )

A. 18

2

B. 36

2

C. 18

D. 36

▼优质解答
答案和解析
作业帮 过C作CF⊥AD,垂足为F,连接BF,
∵BC⊥AD,CF⊥AD,BC∩CF=C,
∴AD⊥平面BCF,
∴VA-BCD=
1
3
S△BCF•AD=2S△BCF
又∠ACD=∠ABD,AD⊥平面BCF,
∴△ACD≌△ABD,∴CF=BF,
取BC的中点E,则EF⊥BC,
∴2S△ADE=2×
1
2
×BC×EF=6EF,
∴当EF最大时,棱锥的体积取得最大值.
又EF=
CF2-CE2
=
CF2-9
,故当CF最大时,棱锥体积最大,
∵∠ACD=60°,AD=6,∴当AC=CD时,CF取得最大值,
此时CF=
27
=3
3
,∴EF=3
2

∴棱锥的体积最大值为6EF=18
2

故选A.