如图，在四棱锥D′-ABCE中，底面为直角梯形，AB=2BC=2CE=2，且AB⊥BC，AB∥CE，平面D′AE⊥平面ABCE．（1）求证：AD′⊥EB；（2）若D′A⊥D′E，D′A=D′E，求直线AC与平面ABD′所成角的正弦值．

Question

如图，在四棱锥D′-ABCE中，底面为直角梯形，AB=2BC=2CE=2，且AB⊥BC，AB∥CE，平面D′AE⊥平面ABCE．
（1）求证：AD′⊥EB；
（2）若D′A⊥D′E，D′A=D′E，求直线AC与平面ABD′所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：∵平面D′AE⊥平面ABCE，
∴AD′在底面ABCE上的射影落在AE上
取AB中点H，连接CH，则CH∥AE
∵AB=2BC=2CE=2，∴四边形BCEH为正方形，
∴BE⊥CH，CH∥AE
∴BE⊥AE
∵平面D′AE⊥平面ABCE，平面D′AE∩平面ABCE=AE，
∴BE⊥平面D′AE
∴AD′⊥EB；
（2）由题意可知，D′在底面上的射影为AE中点G，设AC∩HE=0，则OG∥AB，∴G与O到平面ABD′的距离相等
过G作AB的垂线，垂足为F，连接D′F，过G作D′F的垂线，垂足为M，
则GM等于O到面ABD′的距离
在直角△D′GF中，FG=(1)/(2)，D′G-(√(2))/(2)，AO=(√(5))/(2)，∴GM=(√(6))/(6)
设直线AC与平面ABD′所成角为α，则sinα=((√(6))/(6))/((√(5))/(2))=(√(30))/(15)
∴直线AC与平面ABD′所成角的正弦值为(√(30))/(15)．