在平面直角坐标系中，点为动点，、分别为椭圆的左、右焦点．已知为等腰三角形.（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与椭圆相交于、两点，是直线上的点，满足，

Question

在平面直角坐标系 中，点 为动点， 、 分别为椭圆 的左、右焦点．已知 为等腰三角形.

（1）求椭圆的离心率 ；
（2）设直线 与椭圆相交于 、 两点， 是直线 上的点，满足 ，求点 的轨迹
方程.

Answer 1

（1） ；（2） .

试题分析：（1）先利用平面向量的数量积确定 为钝角，从而得到当 时，必有 ，根据两点间的距离公式列有关 、 、 的方程，求出 与 之间的等量关系，从而求出离心率的值；（2）先求出直线 的方程，与椭圆方程联立求出交点0 、1 的坐标，利用4 以及 、2 、 三点共线列方程组消去 ，从而得出点2 的轨迹方程.
试题解析：（1）设椭圆 的焦距为 ，则 ， ， ，
， ，
，所以 为钝角，
由于 为等腰三角形， ， ，即 ，
即 ，整理得 ，即 ，
由于 ，故有 ，即椭圆的离心率为 ；
（2）易知点 的坐标为 ，则直线

作业帮用户 2016-11-24

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