求下列曲线的凹向区间与拐点．（1）y=（x-2）13（2）y=ln（1+x2）

Question

求下列曲线的凹向区间与拐点．
（1）y=（x-2） (1)/(3)
（2）y=ln（1+x²）

Answer 1

（1）y=（x-2） (1)/(3)的定义域为（-∞，+∞），
∴y′=(1)/(3)(x-2)-(2)/(3)，
∴y″=-(2)/(9)(x-2)-(5)/(3)，
令y″=0，解得x=2，
当x∈（-∞，2），y″>0，即曲线的凹向区间为（-∞，2），
∴点（2，0）是函数的拐点，
（2）y=ln（1+x²）的定义域为（-∞，+∞），
∴y′=(2x)/(1+x2)，
∴y″=(2-2x2)/((1+x2)2)，
令y″=0，解得x=±1

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞
y″	-	0	+	0	-
y	凸	（-1，0）	凹	（1，0）	凸

∴函数的凹向区间为（-1，1），拐点为（-1，0）和（1，0）