如图，AB是O的直径，O的半径为5，O上有定点C和动点P，它们位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，若tan∠ABC=34，则线段CQ长度的最大值为（）A.10B.152C.403D.203

Question

如图，AB是 O的直径， O的半径为5， O上有定点C和动点P，它们位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，若tan∠ABC=

(3)/(4)，则线段CQ长度的最大值为（　　）

A. 10

B.

(15)/(2)

C.

(40)/(3)

D.

(20)/(3)

Answer 1

∵线段AB为 O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵CQ⊥PC，
∴∠PCQ=90°=∠ACB，
又∵∠P=∠A（同弦圆周角相等），
∴△ACB∽△PCQ，
∴(CQ)/(CB)=(CP)/(AC)．
在Rt△ACB中，tan∠ABC=(3)/(4)，
∴(AC)/(BC)=(3)/(4)，
∴CQ=(CB)/(AC)•CP=(4)/(3)CP．
∵线段CP是 O内一弦，
∴当CP过圆心O时，CP最大，且此时CP=10．
∴CQ=(4)/(3)×10=(40)/(3)．
故选C．