某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°）cos48°（I）试从上述三

Question

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°
（I）试从上述三个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．

Answer 1

（I）选择（2）为例：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-(1)/(2)sin30°=1-(1)/(4)=(3)/(4)…（4分）
（II）根据（Ⅰ）的计算结果，可得三角恒等式为：
sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=(3)/(4)…（6分）
证明如下：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）
=sin²α+（(√(3))/(2)cosα+(1)/(2)sinα）²-sinα（(√(3))/(2)cosα+(1)/(2)sinα）
=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)…（12分）