已知点A（-2，3）为椭圆x216+y212=1内一点，F2为其右焦点，M为椭圆上一动点．（1）求|AM|+|MF2|的最大值；（2）求|AM|+2|MF2|的最小值．

Question

已知点A（-2，√(3)）为椭圆(x2)/(16)+(y2)/(12)=1内一点，F₂为其右焦点，M为椭圆上一动点．
（1）求|AM|+|MF₂|的最大值；
（2）求|AM|+2|MF₂|的最小值．

Answer 1

（1）椭圆(x2)/(16)+(y2)/(12)=1的a=4，b=2√(3)，c=2，
焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），
由椭圆的第一定义可得|MF₁|+|MF₂|=2a=8，
|AM|+|MF₂|=8+|MA|-|MF₁|，
连接AF₁，延长交椭圆于B，即有|BA|-|BF₁|=|AF₁|=√(3)，
此时取得最大值，且为8+√(3)；
（2）椭圆的右准线为x=8，
离心率e=(c)/(a)=(1)/(2)，由椭圆的第二定义可得e=(|MF2|)/(d)（d为M到右准线的距离），
即有|MF₂|=ed=(1)/(2)d，
|AM|+2|MF₂|=|MA|+d，
过A作右准线的垂线，交点为P，由A，M，P共线，
可得|MP|为|AM|+2|MF₂|的最小值，
且为8+2=10．