如图，边长为2的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=12AB=1，点M在线段EC上．（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；（Ⅱ）判断点M的位置，使得三棱锥B-CDM的体积为218

Question

如图，边长为√(2)的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=(1)/(2)AB=1，点M在线段EC上．

（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）判断点M的位置，使得三棱锥B-CDM的体积为(√(2))/(18)．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵DC=BC=1，DC⊥BC，
∴BD=√(2)，
∵AD=√(2)，AB=2，
∴AD²+BD²=AB²，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，
∴BD⊥ED，
∵AD∩DE=D，
∴BD⊥平面ADEF，
∵BD⊂平面BDM，
∴平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ） 如图，在平面DMC内，过M作MN⊥DC，垂足为N，则MN∥ED，
∵ED⊥平面ABCD，
∴MN⊥平面ABCD，
∵V_B-CDM=V_M-CDB=(1)/(3)MN•S△BDC=(√(2))/(18)，
∴(1)/(3)×(1)/(2)×1×1×MN=(√(2))/(18)，
∴MN=(√(2))/(3)，
∴(MN)/(ED)=(CM)/(CE)=((√(2))/(3))/(√(2))=(1)/(3)，
∴CM=(1)/(3)CE，
∴点M在线段CE的三等分点且靠近C处．