设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{an2n+1}的前n项和．

Question

设数列{a_n}满足a₁+3a₂+…+（2n-1）a_n=2n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{(an)/(2n+1)}的前n项和．

Answer 1

（1）数列{a_n}满足a₁+3a₂+…+（2n-1）a_n=2n．
n≥2时，a₁+3a₂+…+（2n-3）a_n-1=2（n-1）．
∴（2n-1）a_n=2．∴a_n=(2)/(2n-1)．
当n=1时，a₁=2，上式也成立．
∴a_n=(2)/(2n-1)．
（2）(an)/(2n+1)=(2)/((2n-1)(2n+1))=(1)/(2n-1)-(1)/(2n+1)．
∴数列{(an)/(2n+1)}的前n项和=(1-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(5))+…+((1)/(2n-1)-(1)/(2n+1))=1-(1)/(2n+1)=(2n)/(2n+1)．