已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞b＞0）半焦距为c，过焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左右两支各有一个交点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线C截得的弦长为223be2（e为双曲线C的离心率），则e的值

Question

已知双曲线C：(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）半焦距为c，过焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左右两支各有一个交点，若抛物线y²=4cx的准线被双曲线C截得的弦长为(2√(2))/(3)be²（e为双曲线C的离心率），则e的值为

√(3)

√(3)

．

Answer 1

∵抛物线y²=4cx的准线：x=-c，它正好经过双曲线C：(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左焦点，
∴准线被双曲线C截得的弦长为：(2b2)/(a2)，
∴(2b2)/(a2)=(2√(2))/(3)be²，
即：√(2)c²=3ab，
∴2c⁴=9a²（c²-a²），
∴2e⁴-9e²+9=0
∴e=(√(6))/(2)或√(3)，
又过焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左右两支各有一个交点，
∴e=√(3)．
故答案为：

作业帮用户 2016-11-26

问题解析

抛物线y²=4cx的准线：x=-c，它正好经过双曲线C：(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左焦点，准线被双曲线C截得的弦长为：(2b2)/(a2)，可得(2b2)/(a2)=(2√(2))/(3)be²，得出a和c的关系，从而求出离心率的值．

名师点评

本题考点：

抛物线的标准方程．

考点点评：

本题考查直线方程、椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系．由圆锥曲线的方程求焦点、离心率、双曲线的三参数的关系：c²=a²+b²注意双曲线与椭圆的区别．

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