抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=233|AB|，则∠AFB的最大值为（）A.π3B.3π4C.5π6D.2π3

Question

抛物线y²=8x的焦点为F，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线上的两个动点，若x₁+x₂+4=

(2√(3))/(3)|AB|，
则∠AFB的最大值为（　　）

A.

(π)/(3)

B.

(3π)/(4)

C.

(5π)/(6)

D.

(2π)/(3)

Answer 1

因为x1+x2+4=(2√(3))/(3)|AB|，|AF|+|BF|=x₁+x₂+4，所以|AF|+|BF|=(2√(3))/(3)|AB|．
在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB=(|AF|2+|BF|2-|AB|2)/(2|AF|•|BF|)=((|AF|+|BF|)2-2|AF|•|BF|-|AB|2)/(2|AF|•|BF|)=((4)/(3)|AB|2-|AB|2)/(2|AF|•|BF|)-1=((1)/(3)|AB|2)/(2|AF|•|BF|)-1．
又|AF|+|BF|=(2√(3))/(3)|AB|≥2√(|AF|•|BF|)⇒|AF|•|BF|≤(1)/(3)|AB|2．
所以cos∠AFB≥((1)/(3)|AB|2)/(2×(1)/(3)|AB|2)-1=-(1)/(2)，∴∠AFB的最大值为(2π)/(3)，
故选D．