已知（x+mx）n展开式的二项式系数之和为256．（1）求n；（2）若展开式中常数项为358，求m的值；（3）若（x+m）n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．

Question

已知（x+(m)/(x)）ⁿ展开式的二项式系数之和为256．
（1）求n；
（2）若展开式中常数项为(35)/(8)，求m的值；
（3）若（x+m）ⁿ展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．

Answer 1

（1）二项式系数之和为2ⁿ=256，可得n=8．
（2）设常数项为第r+1项，则Tr+1＝

C

r 8

x8−r((m)/(x))r＝

C

r 8

mrx8−2r，
故8-2r=0，即r=4，
则

C

4 8

m4＝(35)/(8)，解得m＝±(1)/(2)．
（3）易知m＞0，设第r+1项系数最大．
则

C

r 8

mr≥

C

r−1 8

mr−1

C

r 8

mr≥

C

r+1 8

mr+1.

化简可得(8m−1)/(m+1)≤r≤(9m)/(m+1)．
由于只有第6项和第7项系数最大，
所以

4＜(8m−1)/(m+1)≤5

6≤(9m)/(m+1)＜7.

，即

(5)/(4)＜m≤2

2≤m＜(7)/(2).

，
所以m只能等于2．