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如图,已知AB为⊙O的弦,C为⊙O上一点,∠C=∠BAD,且BD⊥AB于B.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为3,AB=4,求AD的长.
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如图,已知AB为⊙O的弦,C为⊙O上一点,∠C=∠BAD,且BD⊥AB于B.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,AB=4,求AD的长.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,AB=4,求AD的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图,连接AO并延长交⊙O于点E,连接BE,则∠ABE=90°,
∴∠EAB+∠E=90°.
∵∠E=∠C,∠C=∠BAD,
∴∠EAB+∠BAD=90°.
∴AD是⊙O的切线.
(2)由(1)可知∠ABE=90°,直径AE=2AO=6,AB=4,
∴BE=
=2
.
∵∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,
∴cos∠BAD=cos∠E.
∴
=
即
=
.
∴AD=
.
∴∠EAB+∠E=90°.
∵∠E=∠C,∠C=∠BAD,
∴∠EAB+∠BAD=90°.
∴AD是⊙O的切线.
(2)由(1)可知∠ABE=90°,直径AE=2AO=6,AB=4,
∴BE=
AE2−AB2 |
5 |
∵∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,
∴cos∠BAD=cos∠E.
∴
AB |
AD |
BE |
AE |
4 |
AD |
2
| ||
6 |
∴AD=
12
| ||
5 |
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