已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（）A.63B.123C.183D.243

Question

已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为(4π)/(3)的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（　　）A. 6√(3)
B. 12√(3)
C. 18√(3)
D. 24√(3)

Answer 1

由球的体积公式，得(4)/(3)πR³=(4π)/(3)，
∴R=1．
∴正三棱柱的高h=2R=2．
设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：(1)/(3)•(√(3))/(2)a=1，
∴a=2√(3)．
∴该正三棱柱的表面积为：3a•2R+2×(√(3))/(4)×a2=18√(3)．
故选C．