已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2-EA2=AC2，①求证：∠A=90°．②若DE=3，BD=4，求AE的长．

Question

已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE²-EA²=AC²，
①求证：∠A=90°．
②若DE=3，BD=4，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：
连接CE，如图，

∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE=BE…（2分）
∵BE²-EA²=AC²，
∴CE²-EA²=AC²，
∴EA²+AC²=CE²，
∴△ACE是直角三角形，即∠A=90°；
（2）
∵DE=3，BD=4，
∴BE=√(DE2+BD2)=5=CE，
∴AC²=EC²-AE²=25-EA²，
∵BC=2BD=8，
∴在Rt△BAC中由勾股定理可得：BC²-BA²=64-（5+EA）²=AC²，
∴64-（5+AE）²=25-EA²，解得AE=(7)/(5)．