已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛

Question

已知抛物线l：y=ax²+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．
（1）如图，抛物线y=x²-2x-3的衍生抛物线的解析式是______，衍生直线的解析式是______；
（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=-2x²+1和y=-2x+1，求这条抛物线的解析式；
（3）如图，设（1）中的抛物线y=x²-2x-3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=x²-2x-3过（0，-3），
∴设其衍生抛物线为y=ax²-3，
∵y=x²-2x-3=x²-2x+1-4=（x-1）²-4，
∴衍生抛物线为y=ax²-3过抛物线y=x²-2x-3的顶点（1，-4），
∴-4=a•1-3，
解得 a=-1，
∴衍生抛物线为y=-x²-3．
设衍生直线为y=kx+b，
∵y=kx+b过（0，-3），（1，-4），
∴

−3＝0+b

−4＝k+b

，
∴

k＝−1

b＝−3

，
∴衍生直线为y=-x-3．

（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，
∴将y=-2x²+1和y=-2x+1联立，得

y＝−2x2+1

y＝−2x+1

，
解得

x＝0

y＝1

 或

x＝1

y＝−1

，
∵衍生抛物线y=-2x²+1的顶点为（0，1），
∴原抛物线的顶点为（1，-1）．
设原抛物线为y=a（x-1）²-1，
∵y=a（x-1）²-1过（0，1），
∴1=a（0-1）²-1，
解得 a=2，
∴原抛物线为y=2x²-4x+1．

（3）∵N（0，-3），
∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=-3，
∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=-2．
设点P坐标为（x，-2），
∵O（0，0），M（1，-4），
∴OM²=（x_M-x_O）²+（y_O-y_M）²=1+16=17，
  OP²=（|x_P-x_O|）²+（y_O-y_P）²=x²+4，
  MP²=（|x_P-x_M|）²+（y_P-y_M）²=（x-1）²+4=x²-2x+5．
①当OM²=OP²+MP²时，有17=x²+4+x²-2x+5，
解得x=(1+√(17))/(2)或x=(1−√(17))/(2)，即P（(1+√(17))/(2)，-2）或P（(1−√(17))/(2)，-2）．
②当OP²=OM²+MP²时，有x²+4=17+x²-2x+5，
解得 x=9，即P（9，-2）．
③当MP²=OP²+OM²时，有x²-2x+5=x²+4+17，
解得 x=-8，即P（-8，-2）．
综上所述，当P为（(1+√(17))/(2)，-2）或（(1−√(17))/(2)，-2）或（9，-2）或（-8，-2）时，△POM为直角三角形．