设函数f(x)＝2x−12x+1(x∈R)，g(x)＝x+4x−299（x∈（0，2]）（Ⅰ）求证：f（x）是奇函数，g（x）在区间（0，2]上是单调递减函数；（Ⅱ）若f（m）＜g（x）对任意x∈（0，2]恒成立，求实数m的取值

Question

设函数f(x)＝(2x−1)/(2x+1)(x∈R)，g(x)＝x+(4)/(x)−(29)/(9)（x∈（0，2]）
（Ⅰ）求证：f（x）是奇函数，g（x）在区间（0，2]上是单调递减函数；
（Ⅱ）若f（m）＜g（x）对任意x∈（0，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ） 证明：x∈R，f(−x)＝(2−x−1)/(2−x+1)＝(1−2x)/(1+2x)＝−f(x)，所以f（x）是奇函数．…（3分）
∀x₁，x₂∈（0，2]，当0＜x₁＜x₂≤2，g(x1)−g(x2)＝(x1−x2)(x1x2−4)/(x1x2)，
因为0＜x₁＜x₂≤2，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＜4，∴(x1x2−4)/(x1x2)＜0，
∴g(x1)−g(x2)＝(x1−x2)(x1x2−4)/(x1x2)＞0，故有g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在区间（0，2]上是单调递减函数．…（8分）
（Ⅱ）f（m）＜g（x）对任意x∈（0，2]恒成立，只需f（m）＜g_min（x），即(2m−1)/(2m+1)＜g(2)＝(7)/(9)，
∵2^m+1＞0，
∴整理得2^m＜8，可得 m＜3，即实数m的取值范围为（-∞，3）．…（13分）