如图，在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，△PAC是直角三角形，∠PAC=90°，∠ACP=30°，平面PAC⊥平面ABC．（1）求证：平面PAB⊥平面PBC；（2）若PC=2，求△PBC的面积．

Question

如图，在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，△PAC是直角三角形，∠PAC=90°，∠ACP=30°，平面PAC⊥平面ABC．

（1）求证：平面PAB⊥平面PBC；
（2）若PC=2，求△PBC的面积．

Answer 1

（1）证明：∵平面PAC⊥平面ABC，∠PAC=90°，
∴PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC，又∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∵AB∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC，又∵BC⊂平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC；
（2） ∵△PAC是直角三角形，∠PAC=90°，∠ACP=30°，PC=2，
∴PA=1，AC=√(3)，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴AB=BC=(√(6))/(2)，PB=√(12+((√(6))/(2))2)=(√(10))/(2)，
∴S_△PBC=(1)/(2)×(√(6))/(2)×(√(10))/(2)=(√(15))/(4)．