已知正项数列｛an｝的前n项和为Sn,若an+1/an=2Sn,求an.

Question

已知正项数列｛an｝的前n项和为Sn,若an+1/an=2Sn,求an.】

Answer 1

当n=1时
a1 + 1/a1=2S1=2a1
a1=1 当n≥2时
∵an = Sn - S(n-1)
∴2Sn=an + 1/an=Sn-S(n-1) + 1/[Sn-S(n-1)]
∴2Sn·[Sn-S(n-1)]=[Sn-S(n-1)]² + 1
∴Sn²=S(n-1)²+1
∴数列{Sn²}是以S1²=1为首项,1为公差的等差数列
∴Sn²=1 + (n-1)×1 = n
∵an＞0
∴Sn＞0
∴Sn=√n
∴an=Sn - S(n-1)=√n - √(n-1) ,n≥2
把a1 = 1代入也满足.
∴an=n - √(n-1)