一道高等数学题极限lim(x→圆周率/2)(1-sin^(a+b)x)/[(1-sin^ax)(1-sin^bx)]^(1/2)结果为(a+b)/(ab)^(1/2)

Question

一道高等数学题 极限
lim(x→圆周率/2)(1-sin^(a+b) x)/[(1-sin^a x)(1-sin^b x)]^(1/2)
结果为
(a+b)/(ab)^(1/2)

Answer 1

令y=π/2－x.
lim(x→圆周率/2)(1-sin^(a+b) x)/[(1-sin^a x)(1-sin^b x)]^(1/2)
＝lim(y→0)(1-cos^（a+b）y)/[(1-cos^a y)(1-cos^b y)]^(1/2)
＝lim(y→0)(1-（1-（y²／2））^（a+b））／
[(1-（1-（y²／2））^a )(1--（1-（y²／2））^b ）]^(1/2)
＝lim(y→0)(（a+b）（y²／2）／[a（y²／2）×b（y²／2）]^(1/2)
＝(a+b)/(ab)^(1/2).
这里用到：①y→0时,cosy∽1－y²／2.
②y→0时:（1±y）^n∽1±ny.
∽的意思是：等价,大意是说.做题时可以替换.但是这个替换是有条件的,一时说不清楚,但可以肯定,只要算出的结果不是0.就是对的.下面给你几个,必要时可以救急.
x→0时:sinx∽x.cosx∽1－x²／2,tgx∽x,arcsinx∽x∽arctgx.等等.