如图甲所示，光滑的平行金属导轨水平放置，导轨间距为l，左侧接一阻值为R的电阻．在MN与PQ之间存在垂直轨道平面的有界匀强磁场，磁场宽度为d．一质量为m的金属棒ab置于导轨上，与导轨

Question

如图甲所示，光滑的平行金属导轨水平放置，导轨间距为l，左侧接一阻值为R的电阻．在MN与PQ之间存在垂直轨道平面的有界匀强磁场，磁场宽度为d．一质量为m的金属棒ab置于导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨和金属棒的电阻．金属棒ab受水平力F=√(0.2x)+0.4（N）的作用，其中x为金属棒距MN的距离，F与x的关系如图乙所示．金属棒ab从磁场的左边界由静止开始运动，通过电压传感器测得电阻R两端电压随时间均匀增大．已知l=1m，m=1kg，R=0.5Ω，d=1m．问：
（1）金属棒刚开始运动时的加速度为多少？并判断该金属棒在磁场中做何种运动．
（2）磁感应强度B的大小为多少？
（3）若某时刻撤去外力F后棒的速度v随位移s的变化规律满足v＝v0−(B2l2)/(mR)s（v₀为撤去外力时的速度，s为撤去外力F后的位移），且棒运动到PQ处时恰好静止，则外力F作用的时间为多少？
（4）在（3）的情况下，金属棒从MN运动到PQ的整个过程中左侧电阻R产生的热量约为多少？

Answer 1

（1）金属棒开始运动时，x=0，v=0，金属棒不受安培力作用，
金属棒所受合力F=√(0.2x)+0.4=0.4N，
由牛顿第二定律得：a=(F)/(m)=(0.4)/(1)=0.4m/s²，
由题意可知，电阻R两端电压随时间均匀增大，
即金属棒切割磁感线产生的感应电动势随时间均匀增大，
由E=BLv可知，金属棒的速度v随时间t均匀增大，
则金属棒做初速度为零的匀加速运动．
（2）金属棒做初速度为零的匀加速直线运动，a=0.4m/s²，
由匀变速直线运动的位移公式可得：v²=2ax，则v=√(2ax)，
由图乙所示图象可知，x=0.8m时，F=0.8N，
由牛顿第二定律得：F-(B2L2v)/(R)=ma，
解得：B=0.5T；
（3）设外力F的作用时间为t，
力F作用时金属棒的位移：x=(1)/(2)at²，
撤去外力后，金属棒的速度：
v＝v0−(B2l2)/(mR)s，
到PQ恰好静止，v=0，
则撤去外力后金属棒运动的距离：s=(mR)/(B2L2)•at，
则(1)/(2)at²+(mR)/(B2L2)at=d，
解得：t=1s；
（4）力F作用时，金属棒的位移：
x=(1)/(2)at²=(1)/(2)×0.4×1²=0.2m，
由F-x图象可知，图线与横纵坐标轴所包围面积代表在此过程中外力F做的功为W，
由图象可知，W=0.11J，
金属棒从MN开始运动到PQ边静止，
由动能定理得：W+W_安=0，
电阻R产生的热量：Q=-W_安=0.11J；
答：（1）金属棒刚开始运动时的加速度为0.4m/s²，金属棒做初速度为零的匀加速运动．
（2）磁感应强度B的大小为0.5T．
（3）外力F作用的时间为1s．
（4）金属棒从MN运动到PQ的整个过程中左侧电阻R产生的热量约为0.11J．